Следующие примеры позволяют понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.

1) Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t , то этот закон можно записать так: (1),где dx / dt – скорость распада, а k – некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество. (Знак «минус» в правой части указывает на то, что x убывает со временем; знак «плюс», подразумеваемый всегда, когда знак явно не указан, означал бы, что x возрастает со временем.)

2) Емкость первоначально содержит 10 кг соли, растворенной в 100 м ³ воды. Если чистая вода вливается в емкость со скоростью 1 м ³ в минуту и равномерно перемешивается с раствором, а образовавшийся раствор вытекает из емкости с такой же скоростью, то сколько соли окажется в емкости в любой последующий момент времени? Если x – количество соли (в кг ) в емкости в момент времени t , то в любой момент времени t в 1 м ³ раствора в емкости содержится x /100 кг соли; поэтому количество соли убывает со скоростью x /100 кг/мин, или (2).

3) Пусть на тело массы m , подвешенное к концу пружины, действует возвращающая сила, пропорциональная величине растяжения пружины. Пусть x – величина отклонения тела от положения равновесия. Тогда по второму закону Ньютона, который утверждает, что ускорение пропорционально силе: (3).Правая часть стоит со знаком минус потому, что возвращающая сила уменьшает растяжение пружины.

4) Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90 ? С находится в помещении, температура в котором равна 20?С, то (4), где T – температура кофе в момент времени t .

5) Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии . Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску . Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску , и наоборот, получаем:

(5), где члены ? ax и ? by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные.

Более подробно остановимся на рассмотрении применения дифференциальных уравнений в химии.

Задача. Уравнение скорости последовательно протекающих реакций   (6) записывается следующим образом:   (7),

где [P] – концентрация соединения Р к моменту времени t от начала реакции;

k ₁ – константа скорости первой стадии процесса, равна 5?10 ^-2 дм ³ ?моль ^-1 ?мин ^-1 ;

k ₂ – константа скорости второй стадии последовательной реакции, равна

6,5?10 ^-3 дм ³ ?моль ^-1 ?мин ^-1 ;

[А ₀ ] – исходная концентрация соединения А.

Найти, чему будут равны значения [P] спустя 1, 2, 3 мин после начала реакции, если при t=0 [P]=0, а [A ₀ ]=1.

Решение:

Обозначим y= [P], x=t . Тогда уравнение (7) примет вид (вместо k ₁ и k ₂ подставим их численные значения):

где (8)

Методом Эйлера и Рунге-Кутты найти решение дифференциального уравнения (9)

из условия задачи 1 с начальным условием y (0)=0 на отрезке [0;3] с шагом h=1.

Решение задачи средствами MS Excel :

Метод Эйлера:

1.    Точным решение данной задачи является функция ₍₁₀₎

2.    Шаг h=1.

3.    В диапазоне A1:B5 заполняем ячейки:

Рис 1. Ввод исходных данных задачи

4.      В ячейке D2 записываем начальное значение y (0)=0, а в C2 — формулу =0,05*EXP(-0,05*B2)-0,0065*D2, которая соответствует выражению f (x ₀ , y ₀ ) и протянем маркером заполнения до C5.

5.      В ячейку D3 введем формулу =D2+1*C2 (по реккурентной формуле Эйлера   (11)) и протянем маркером заполнения протянем до D5.

6.      В ячейках E2:E5 вычислим значения точного решения. Для этого в ячейку E2 введем формулу =(10*(EXP(0,015*B2)-1)/3)*EXP(-0,065*B2) и протянем до E5.

7.      В столбце F2:F5 вычислим абсолютные ошибки с помощью формулы =ABS(E2-D2) и скопируем в остальные ячейки.

Рис. 2. Результаты расчета методом Эйлера

Метод Рунге-Кутты:

1. Возьмем шаг h=1.

2. В ячейки A1:А5 введем данные как в таблице:

Рис. 3. Ввод исходных данных задачи

3. В ячейке D2 записываем начальное значение y (0)=0, а в B2 — формулу =0,05*EXP(-0,05*A2)-0,0065*D2 и протянем маркером заполнения до B4.

4. В ячейку C2 введем формулу=0,05*EXP(-0,05*(A2+1*0,5))-0,0065*(B2+0,5*B2) и протянем маркером до C4.

5. В ячейку D3 введем формулу =D2+1*(0,05*EXP(-0,05*(A3+0,5))-0,0065*(D2+0,5*B2))и протянем до D5.

6. В ячейках E2:E12 вычислим значения точного решения. Для этого в ячейку E2 введем формулу =(10*(EXP(0,015*A2)-1)/3)*EXP(-0,065*A2 и протянем до E5.

7. В столбце F2:F5 вычислим абсолютные ошибки с помощью формулы =ABS(E2-D2) и скопируем в остальные ячейки.

Рис. 3. Результаты расчета методом Рунге-Кутты

Искомые значения решения y=y ( x ) дифференциального уравнения

(12)

на отрезке [0; 3]: y ₁ =0,0472; y ₂ =0,0891; y ₃ =0,1262.

Нетрудно заметить, что результаты по обоим методам совпадают. Использование численных методов и их автоматизация в программных средах значительно упрощает решение многих практических задач.

Список использованных источников:

1.       Соболь Б.В. Практикум по вычислительной математике / Б.В. Соболь, Б.Ч. Месхи , И.М. Пешхоев . – Ростов н /Д.: Феникс, 2008.

2.       Брановицкая С.В. Вычислительная математика в химии и химической технлогии / С.В. Брановицкая , Р.Б. Медведев, Ю.Я. Фиалков. – К.: Вища школа головное издательство, 1986.

3.       Пантелее А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах / А.В. Пантелее, А.С. Якимова, А.В. Босов . – М: МАИ, 2000.

4.       Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений / К.К. Пономарев. – Мн.: Высшая школа, 1973.