Пуц І.О.

Криворізька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів № 38, Україна

РОЗВИТОК ЛОГІЧНОГО МИСЛЕННЯ УЧНІВ У ПРОЦЕСІ РОЗВ ’ ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА ДОВЕДЕННЯ В КУРСІ ПЛАНІМЕТРІЇ

 

На сучасному етапі розвитку шкільної математичної освіти в умовах особистісно-орієнтованого навчання, рівневої та профільної диференціації перед вчителями математики постає проблема, більш доступного викладання матеріалу, що стосується розв’язування задач на доведення в курсі планіметрії.

Виникнення геометричних задач на доведення зумовлене насамперед практичною необхідністю в людських потребах. Викладання геометрії в середній школі побудоване таким чином, що учням дуже важко зрозуміти зміст матеріалу та сенс його вивчення. Учні не розуміють у яких сферах реального життя вони можуть використати отримані знання. Шкільна геометрія стала абстрактним предметом, в учнів не має мотивації до її вивчення. Саме на перших уроках систематичного курсу геометрії, учні ознайомлюються з логічною будовою геометрії, основними властивостями найпростіших геометричних фігур, першими твердженнями, що вимагають доведення [1].

Тому вчитель математики, зобов’язаний допомогти учням досягти вершини абстракції в доступній для кожного з них формі, озброїти їх уміннями розв’язувати задачі на доведення. Це означає, що перед методикою навчання математики постають нові завдання, пов’язані з розвитком логічного мислення учнів. При свідомому засвоєнні математичних знань учні користуються основними мисленєвими операціями такими як аналіз та синтез, порівняння, абстрагування та конкретизація, узагальнення; учні роблять індуктивні висновки, проводять дедуктивні міркування. Кожний вчитель математики повинен розуміти, що якщо під час розв’язування задач на доведення в курсі планіметрії навчити учнів правилам-орієнтирам проведення логічних міркувань, домогтися свідомого розуміння суті і логічної структури методів доведення тверджень, то рівень знань, умінь та навичок учнів значно підвищиться, що є необхідною умовою вміння учнів доводити твердження.

У шкільному курсі математики учні ознайомлюються з такими основними методами доведень: синтетичним, аналітичним, аналітико-синтетичним, методом доведення від супротивного, повної індукції, математичної індукції, методами геометричних перетворень (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне перенесення, гомотетія і подібність), алгебраїчним методом, окремими випадками якого є векторний і координатний.

Кожне доведення можна представити у вигляді скінченої послідовності логічних міркувань. Довести твердження означає показати за допомогою логічних міркувань, що з істинності умови як логічний наслідок випливає істинність вимоги, а отже і того твердження, що доводиться. За способом проведення міркувань всі доведення поділяються на два основні види: прямі та непрямі доведення.

Прямі доведення здійснюються за допомогою так званих синтетичних і аналітичних міркувань. Синтетичними називаються міркування, які здійснюються при доведенні математичних тверджень, коли хід думок спрямований від умови до вимоги. Будь-яку задачу коротко можна записати так: , де А – умова задачі, Х – її вимога. Знаючи умову А, можна підібрати послідовність тверджень A , A , ... A , Х, які безпосередньо випливають з А. Схематично такі міркування можна представити так:

А   A   A ...   A   Х.

Проте синтетичні міркування не позбавлені недоліків: важко здогадатися, в якому напрямку необхідно спрямувати хід думок, щоб прийти до вимоги задачі.

На відміну від синтетичних міркувань, більш досконалими є аналітичні міркування. Такі міркування виступають у двох основних формах: низхідного аналізу (описав Евклід), висхідного аналізу (ввів Папп ).

Схема міркувань при аналізі Евкліда має наступний вигляд:

Х   A   ...   A A А,

але такі міркування не можна вважати строгими доведеннями. Аналіз Евкліда зручно використовувати при пошуку способу розв’язання нестандартних задач. Якщо напрямок думок знайдено, подальші доведення здійснюють за допомогою синтетичних міркувань. Такий процес розв’язування задач можна представити у вигляді наступної схеми:

(міркування при аналізі Евкліда)

Х   A   ...   A A А

А   A   A ...   A   Х

(синтетичні міркування)

У такому випадку говорять, що задачу розв’язано аналітико-синтетичним методом. При аналізі Паппа схема міркувань має наступний вигляд:

Х   A   ...   A   A   А.

Висхідний аналіз має доказову силу і є методом доведення математичних тверджень.

Наведемо правило-орієнтир за яким можуть діяти учні, розв’язуючи будь-яку задачу на доведення:

1.      Виділіть, що дано в умові задачі, а що необхідно довести.

2.      Введіть всі необхідні позначення, виконавши рисунок, що відповідає заданій умові задачі.

3.      Запишіть умову і висновок задачі у символічній формі.

4.      Проаналізуйте рисунок, відмітьте на ньому всі рівні елементи, прямі кути тощо.

5.      Співставте з умовою та її висновком кожну із властивостей, за допомогою якої можна довести те, що вимагають.

6.      Якщо обрати необхідну властивість не вдається, поміркуйте над тим, які ще властивості об’єкта, необхідні для доведення, можуть бути задані в умові.

7.      Звертайтесь до умови задачі та наслідків, що з неї випливають, під час всього процесу розв’язування задач.

 

Список використаних джерел:

1.       Пуц І.О. Розвиток логічного мислення учнів у процесі розв’язування задач на доведення в курсі планіметрії / І.О. Пуц // Збірник наукових праць студентів. – 2009. – № 16. – С. 119–120.