WEB-ресурс научно-практических конференций

К.ф.-м.н . Поселюжна В.Б.

Чортківський інститут підприємництва і бізнесу Тернопільського національного економічного університету, Україна

ПРО ДЕЯКИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ІМПУЛЬСНИМ ВПЛИВОМ І ПАРАМЕТРАМИ

При математичному моделюванні реальних явищ і процесів виникають різноманітні задачі для диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних рівнянь та їх систем. Точний розв’язок таких рівнянь, як правило, не вдається виразити через елементарні функції. Тому великого значення набули методи наближеного розв’язання цих задач, а також розробка і дослідження обчислювальних алгоритмів, які легко реалізуються за допомогою сучасних комп’ютерних програм.

Найбільш поширеними аналітичними методами розв’язування інтегральних і диференціальних рівнянь є ітераційні та проекційні методи. На основі синтезу цих методів виникли проекційно-ітеративні методи, які на сьогодні достатньо добре вивчені [1, 2 ]. Од нак це не виключає можливості створення нових більш ефективних методів та вдосконалення вже існуючих .

В теперішній час особлива увага приділяється таким задачам як задачі з параметрами чи імпульсним впливом та задачам, на розв'язок яких накладаються певні умови, обмеження . Для задач такого типу вивчені властивості розв’язку, наведені критерії розв’язності узагальнених крайових задача для диференціальних рівнянь з параметрами, а також запропоновані і обґрунтовані наближені методи побудови розв’язку: проекційні, ітераційні, проекційно-ітераційні.

В даній роботі пропонується варіант колокаційно-ітеративного методу розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом і параметрами.

Постановка задачі. Нехай необхідно відшукати кусково-неперервну функцію з розривами першого роду при , що задовольняє диференціальне рівняння виду

,

, , , (1)

та наступні умови

, , , (2)

, , (3)

де - скалярний добуток вектора і кусково-неперервної вектор-функції з можливими розривами першого роду при , , - відома функція, визначена і неперервна на відрізку , , - кусково-неперервні функції з можливими розривами першого роду при , , - фіксовані моменти часу імпульсного впливу, , - вектор, компоненти якого – лінійні обмежені функціонали на класі кусково-неперервних функцій з можливими розривами першого роду при , , - шукана функція.

Задача (1)-(3) легко зводиться до вигляду

, (4)

, , , , (5)

Алгоритм методу. Застосуємо до задачі (4)-(5) колокаційно-ітеративний метод.

Нехай на відрізку задано систему вузлів колокації , , причому , , .

Наближені розв’язки задачі (4)-(5) будемо визначати із допоміжної задачі

,

, , , (6)

, , , , (7)

де

, (8) , (9)

Невідомі параметри , згідно методу колокації, визначаються з умови

, . (10)

де , - вузли колокації, а оператор L виражається с співвідношенням

Нульове наближення визначаємо з задачі

, , (11)

, , , , (12)

Система функцій , і система векторів , задані або визначаються із задачі

(13)

, , , , (14)

де , - задана система лінійно-незалежних, кусково-неперервних функцій з можливими розривами першого роду при , .

Встановлено, що запропонований алгоритм зводиться до колокаційно-ітеративного методу розв’язування системи інтегральних рівнянь, а дослідження збіжності методу крайової задачі зводиться до дослідження збіжності методу для системи диференціальних рівнянь.

Нехай для будь-якої функції , виконуються нерівності

,

Теорема 1. Якщо , то крайова задача (1)-(3) має єдиний розв’язок , і послідовності , , побудовані згідно методу (6)-(14), збігаються до розв’язку задачі (1)-(3), тобто

і .

Теорема 2. Нехай задача (1)-(3) має єдиний розв’язок , і нехай система функцій , та вузли колокації , підібрані таким чином, що

,

де

.

Тоді існує такий номер , , що при всіх фіксованих послідовності , , побудовані згідно колокаційно-ітеративного методу (6)-(14) збігаються до розв’язку , задачі (1)-(3).

Список літератури:

1. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. – К.: Наук. думка, 1980. - 262 с.

2. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. – К.: Наук. думка, 1993. – 288 с.