WEB-ресурс научно-практических конференций

К.е.н. Твердохліб І.П., Парасюк І.В.

Львівський національний університет ім. І. Франка, Україна

УМОВИ ІСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОЇ СТРАТЕГІЇ РЕАЛІЗАЦІЇ ПРОГРАМ ЕКОНОМІЧНОГО РОЗВИТКУ РЕГІОНУ

На сучасному етапі розвитку України нагальною і невирішеною проблемою стає соціально-економічне регулювання ринкових процесів у регіонах нашої країни [1, с. 6]. Одним із практично-використовуваних механізмів управління розвитком регіону є соціально-економічні програми. Саме з допомогою соціально-економічних програм адміністрація регіону може впливати на якість життя населення, формуючи цілі та впливаючи на їх досяжність шляхом виділення потрібних обсягів ресурсів. Фактично кожна область України реалізує деяку сукупність таких програм соціально-економічного розвитку (див. хоча би [2-4]) .

Аналіз текстів програм та результатів моніторингів їх виконання засвідчує наявність двох головних проблем, які ускладнюють процес ефективного управління їх реалізацією. По-перше , розмитість цілей і нечіткість інформаційного відображення досяжності цілі множиною статистичних показників, особливо у контексті програм [1, с.4, с.16-17; 2-4]. По-друге , обґрунтованість обсягів ресурсів, виділених на реалізацію соціально-економічної програми, бажає кращого [2] .

Для вирішення першої із названих проблем у [5] обґрунтована інформаційна модель управління процесом економічного розвитку регіону з допомогою сукупності соціально-економічних програм, яка уможливлює оцінювання досяжності цілей розвитку через призму значень значної множини статистичних показників. Згідно неї регіон трактується як лінійний автономний об’єкт [6. с.240-244], стан якого описується множиною соціально-економічних показників розвитку і для якого шукається оптимальне управління, котре переводить регіон із заданого стану у потрібний (цільовий).

Вирішення другої проблеми, як показано у [5], можливе через такий розподіл ресурсів між програмами протягом періоду їх реалізації, який забезпечує мінімальну норму вектора управління моделі регіону у формі лінійного автономного об’єкта. Проте факт існування такого оптимального управління у [5] не доведено.

Отже, метою цього дослідження був аналіз умов існування оптимального розподілу ресурсів між програмами, тобто виявлення умов існування оптимальної стратегії реалізації програм економічного розвитку регіону.

Формалізація проблеми управління економічним розвитком регіону на засадах інформаційного моделювання [5] . Нехай для деякого регіону його адміністрація розглядає сукупність програм соціально-економічного розвиту цього регіону на період , де – базовий рік, а є роком завершення усіх програм. Соціально-економіч­ний стан регіону характеризується за допомогою сукупності Х показ­ників. Кожна програма характеризується множиною показників , що оцінюють стан економічного розвитку регіону у процесі вико­нання програми, та множини цілей економічного розвитку. Досяжність кожної цілі може бути оцінена з допомогою деякої підмножини показників. На реалізацію програми виділяються ресурси , де – обсяг ресурсів у вартісному вимірі для виконання програми . Розподіл ресурсів за періодами у проміжку задається k -вимірним вектором виду , при чому значення –ї координати визначає обсяг виділеного ресурсу – й програмі у період .

Початковий стан регіону у базовий період задається – вимірним вектором виду , де – значення – го показника у базовий період , а . У резуль-таті виконання програм очікується, що стан регіону буде харак­теризуватися у кінцевий період вектором . Розглянемо простір можливих векторів . Очевидно, що , де – - вимірний евклідовий простір. Тоді під управлінням будемо розуміти сукупність векторів (кортеж)

(2)

де задає розподіл ресурсів між програмами у період . Допустимий простір управління формується на підставі очевидних обмежень:

(2)

де – загальний обсяг ресурсів у вартісному вимірі, виділений на реалізацію сукупності програм у інтервалі .

Оптимальним управлінням будемо вважати таке управління виду (1), яке формує оптимальну траєкторію економічного розвитку регіону на проміжку згідно з деяким вибраним критерієм . Таке оптимальне управління має переводити регіон після реалізації сукупності програм з початкового стану у кінцевий .

Проблема визначення такого оптимального управління у загальному випадку формулюється так [5]: для вибраного критерію оцінювання економічного розвитку регіону і вибраної множини показників Х оцінювання стану регіону знайти таке оптимальне управління виду (1) реалізацією сукупності програм виду (5), щоб

(3)

при умовах

(4)

(5)

(6)

(7)

де extr означає тип оптимізації (мінімум чи максимум); – вектор стану регіону ; - вектор інтегральних оцінок досяжності цілей розвитку у розрізі програм; – матриці відповідних розмірностей, призначення яких описане у [5].

Постановка задачі дослідження. Загальна модель (3)-(7) оптимізації управління процесом економічного розвитку регіону уже уможливлює оптимізацію розподілу ресурсів між програмами. З цією метою можна скористатися стандартною постановкою задачі про мінімізацію норми вектора управління лінійним автономним об’єктом [6, с.240-244]. Для нашого випадку конкретизація загальної моделі (3)-(7) виглядатиме так: для вибраної множини показників , оцінювання стану регіону знайти таке управління виду (1) реалізацією сукупності програм ,

щоб

(8)

при умовах

(9)

(10)

та обмеженнях

(11)

; (12)

(13)

, (14)

де – перехідна матриця регіону, яка може бути визначена на підставі матриці А декількома способами [6, с.354-360]; – бажаний стан регіону у період ; – початковий стан регіону у період .

Аналіз умов існування оптимальної стратегії реалізації програм економічного розвитку регіону. Розглядаючи у загальному випадку простір управління як банаховий [6, с.323-325; 7 , с.418; 8, с.26], звернемо увагу на те, що використовувана у моделі (8)-(14) норма вектора управління є частковим випадком загальної норми [6, с.240]:

(15)

при та з урахуванням умови (12). Пошук розв’язку моделі (8)-(14) здійснюємо згідно [ 6 , с.240-244] у декілька етапів.

На першому етапі розглянемо вектор різниці :

(16)

Врахувавши (1), маємо, що

(17)

Уведемо допоміжну матрицю порядку , при чому

(18)

Підставивши (18) у (17), отримаємо

(19)

Тоді з урахуванням (19) формула (16) для обчислення вектора прийме вигляд

(20)

Другий етап полягає в оцінці величини вектора різниці . З цією метою уведемо допоміжний вектор

, (21)

де – ознака транспонування. Домножимо векторну рівність (20) скалярно зліва на вектор . Отримаємо

, (22)

де через позначено скалярний добуток векторів-функцій часу. Значення скалярного добутку оцінимо з використанням відомої нерівності Гельдера [6, с.324-325; 7, с.128; 8, с.26]:

, (23)

де норми вектор-функцій пов’язані співвідношенням [6, с.324; 8, с.26; 10]

, (24)

а норма вектора обчислюється як

(25)

Згідно [6, с.241] вектор-функція часу визначається як

(26)

Щодо нерівності (23) відзначимо таке:

? оскільки структурно управління як свідчить (1) є набором координат вектора для , то норма управління рівна -нормі вектора , так як є - вимірною векторною функцією банахового простору [6, с.323-324]. Тому і у (23), і дальше замість норми використовується норма ;

? застосований у моделі (8)-(14) варіант норми вектора управління є конкретизацією -норми виду (15) при . Тоді узгоджена з цією -нормою -норма вектора має задовольняти умову (24), звідки отримаємо, що .

Таким чином, для нашої моделі, починаючи з (23), використовується узгоджена пара норм виду (15) зі спряженими значенням .

Відклавши змістовну інтерпретацію норми вектора для на пізніше, продовжимо опис методу пошуку оптимального управління для задачі (8)-(14) з використанням змінних . Лише після отримання остаточних результатів замінимо змінні їхніми значеннями.

На третьому етапі обґрунтуємо систему умов для визначення оптимального управління згідно (23)

(27)

Аналіз нерівності (27) показує, що

? права частина її залежна від вибору вектора ;

? в силу накладених на вектор умов (24) випливає виконуваність нерівності (23) для будь-якого вектора .

Тому можна стверджувати, що як нерівність (23), так і її наслідок (27) повинні мати місце для довільного вектора . Звідси випливають очевидні умови:

(28)

(29)

Умова (29) уже уможливлює пошук компонент оптимального управління . Її суттєвим недоліком є відсутність явних умов на область зміни векторів , що ускладнює процес розв’язування рівняння (29).

Метою четвертого етапу є уточнення зони зміни допоміжних векторів у співвідношенні (29). Оскільки норма згідно (15) не залежить від форми запису , то не будемо розглядати усі вектори , яких , а залишимо для (25) лише ті з них, для яких

(30)

Тоді як наслідок з (29) отримаємо

(31)

Позначимо через вектор , який є розв’язком такої допоміжної задачі мінімізації: знайти такий вектор , щоб

(32)

при умові

(33)

де згідно (26)

(34)

Поєднуючи (29), (31) і (32), приходимо до основного рівняння для визначення оптимального управління моделі (8)-(14):

(35)

Для виконання рівняння (35) потрібно [6, с.242], щоб така нерівність

(36)

перетворювалась у рівність. Власне умови на компоненти управління , які перетворюють (36) у рівність, уможливлюють визначення складових .

На п’ятому етапі визначаємо умови перетворення нерівності (36) у рівність. У загальному випадку ці умови досліджені у [6, с.242-243]. Згідно [6, с.242: 9, с.359] нерівність Гельдера (23) чи (36) переходить у рівність тоді і тільки тоді, коли

, (37)

де є -ю координатою вектора , а відома функція знаку

Для норма виду (25) трактується як точна верхня грань множини значень відповідної вектор-функції на інтервалі (див. [6, с.236; 9 , с.359; 11, с.61]). Тому в нашому випадку

, (38)

де для всіх

(39)

Таким чином, для моделі (8)-(14) узгоджена з -нормою вектора -норма вектора може бути визначена як

(40)

Так визначена -норма вектора уже в загальному випадку не є неперервною функцією часу . Тому прямо застосувати співвідношення (37) для визначення компонент оптимального управління не можна. Потрібно додатково дослідити умови перетворення нерівності

(41)

у рівність.

Позначимо через -ту компоненту вектора у період . Нехай для всіх координата з номером вектора є максимальною по модулю, тобто

(42)

де (43)

Тоді -норма вектора буде рівна

(44)

якщо є тим періодом, у якому

(45)

З урахуванням (45) нерівність (41) прийме вигляд

(46)

Очевидно, що координати векторів мають задовольняти рівність

(47)

Звідки маємо

(48)

Взявши інтеграл у лівій частині (48), приходимо до умови перетворення нерівності (46) у рівність і тим самим обґрунтовується існування оптимального вектора виду (35), який буде розв’язком моделі (8)-(14). Сформулюємо цю умову у формі такого твердження

Твердження 1. Для того, щоб оптимальне управління виду (1), компоненти якого задовольняють рівняння

(49)

було розв’язком моделі (8)-(14) необхідно і достатньо, щоб його компоненти , задовольняли умові

, (50)

де вектор-функція визначається згідно (26) як

, (51)

а узгоджена з у сенсі (24) -норма вектора рівна згідно (44)

(52)

На шостому етапі шукаємо таке управління , компоненти якого задовольняють умови (46)-(48). Оскільки згідно (15) норма рівна

так як усі , то на підставі твердження 1 модель (8)-(14) можна звести до такої еквівалентної дискретної форми: для заданого вектора та матриці виду (18) знайти такі для , щоби

(53)

при умовах

(54)

(55)

(56)

де задають початкові вимоги до обсягу ресурсу для -ї програми у період часу .

Зазначимо, що умови (13), (14) моделі (8)-(14) уже опосередковано враховують через вибір векторів та і в умові (50) твердження 1. Тому вони відсутні у задачі квадратичного програмування (53)-(56).

Маючи загальний обсяг витрат , початковий їх розподіл між програмами у розрізі періодів, вектори і та матрицю , можна підготувати вхідні дані для моделі (53)-(56) і знайти оптимальний розподіл ресурсів між програмами економічного розвитку регіону з допомогою відповідних програмних засобів, приміром з допомогою додатка Solver табличного процесора MS Excel. Структура задачі квадратичного програмування досить хороша і тому слід очікувати на існування оптимальної траєкторії реалізації комплексу програм.

Висновки. Найперше відзначимо продуктивність застосування принципів інформаційного моделювання для формалізації проблеми управління економічним розвитком регіону з елементами нечіткого оцінювання досяжності цілей соціально-економічних програм. Описана у [5] інформаційна модель уможливлює визначення оптимального управління економічним розвитком регіону через оптимізацію розподілу ресурсів на реалізацію сукупності програм.

Проведений аналіз засвідчив, що існують певні умови, які уможливлюють існування оптимальної стратегії економічного розвитку регіону (див. твердження 1). Така стратегія забезпечує перевід регіону із початкового стану у заданий шляхом реалізації низки програм за найменш можливий обсяг ресурсів. Хоча задачу квадратичного програмування (53)-(56) можна розв ’ язати кількісними методами, доцільно проаналізувати її методом множників Лагранжа з метою виявлення нових властивостей її оптимального розв ’ язку. Це буде завданням наступного дослідження.

Список літератури:

1. Кожурін Ф.Д. Методологічні засади проекту нагальних системних і соціальних перетворень в Україні. // Актуальні проблеми економіки. – 2010. – №11 (113). – С.3-18.

2. Стратегія розвитку Львівщини до 2015 року. // Інтернет ресурс – http://www. loda .gov.ua

3. Середньострокова інвестиційна програма Львівської області на 2008-2011 роки// Інтернет ресурс – http://www. loda .gov.ua

4. Стратегія розвитку Львівської області до 2015 року: Економіка. Суспільство. Середовище. Моніторинг за 2009 рік. – Вип.9. – Львів:Головне управління статистики у Львівській області, 2010. – 266с.

5. Парасюк І. Інформаційні моделі в оцінюванні економічного розвитку регіону.// Актуальні проблеми економіки – 2010. – №10(112). – С.231-239.

6. Чаки Ф. Современная теория управления. – М.: Мир, 1975. – 424с.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1973. – 831с.

8. Остудін Б. А., Шинкаренко Р.А. Методи функціонального аналізу в обчислювальній математиці: Навч. посібник – Львів, 1998. –184с.

9. Шварц Л. Анализ: Пер. з французского Б.П. Пугачева. / Под ред. С.Г. Крейна. – Т.1 – М.: Издательство «Мир», 1972. – 824с.

10. Кирилов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функцио-нального анализа: учебн. пособие для вузов. – 2-е изд., перероб. и допол. – М.: Наука, 1988. –336с.

11. Хатсон В., Пим Дж. Приложение функционального анализа и теории операторов. Пер з анг./ Под ред. А.А. Кирилов а. – М.: Мир, 1983. – 432 с.