Застосування математичних методів для визначення ступеня ризику або невизначеності при прийнятті управлінських рішень

О. В. Макарюк, П. В. Барна

У процесі своєї діяльності суб’єкти підприємництва стають перед проблемою вибору оптимального варіанту розвитку підприємства, який дасть змогу отримати заздалегідь визначений результат. Цей вибір пов’язаний із певними проявами елементів ризику та невизначеності. Ця проблема є досить актуальною і потребує розробки вченими. Найбільш ефективним є використання математичних критеріїв (принципів) оцінки прийняття рішень в умовах ризику та невизначеності. Нами буде зроблено спробу проаналізувати дані принципи розподілити їх на групи (стосовно відношення до оцінки ступеня ризику або невизначеності), а також виявити їх переваги та недоліки.

У господарській діяльності, найбільш частішим на практиці є випадок, коли є кінцева кількість варіантів вибору рішень   (причому кожному варіанту відповідає деякий результат , ) та необхідно знайти варіант з найбільшим значенням результату, тобто метою вибору є максимальне значення . У якості   може бути прибуток, валовий доход або деяка характеристика стійкості промислового виробництва, а також інші показники. Протилежну ситуацію з оцінкою витрат або втрат можна дослідити шляхом мінімізації оцінки або введення від’ємних величин корисності.

Таким чином, вибір оптимального варіанту проводиться за допомогою наступного критерію:

Вибір оптимального варіанту не є однозначним, оскільки максимальне значення   може досягатися одразу в багатьох варіантах вибору.

У розглянутому випадку кожному варіанту рішення відповідає єдине (зовнішнє) становище, тобто однозначно визначається єдиний результат. Цей випадок є достатньо простим та вельми частим. В більш складних випадках кожному допустимому варіанту прийняття рішення , внаслідок різноманітних зовнішніх умов , , відповідають різноманітні результати   рішень. Таким чином, сімейство рішень описується матрицею:

Щоб перейти до однозначного та найбільш вигідного варіанту рішення, вводяться оціночні (цільові) функції. При цьому матриця рішень   зводиться до одного стовпчика. Подібні задачі поділяються на два класи. Це, по-перше, задачі прийняття рішень за умов невизначеності, коли немає ніякої інформації про імовірності виникнення кожного з можливих станів природи. По-друге, це задачі прийняття рішень за умов ризику, коли можна дати певну (об’єктивну або суб’єктивну) оцінку імовірному розподілу станів природи, тобто коли імовірності виникнення кожного з можливих станів оточуючого середовища можна вважати відомими.

Розглянемо критерії, що відносяться до першої групи.

1. Мінімаксний критерій (критерій Вальда , песимістичний):

Відповідно до цього критерію рекомендується обирати таку з альтернатив, песимістична оцінка якої є найкращою.

Застосування критерію Вальда буває виправданим, коли ситуація, в якій приймається рішення має наступні характеристики: про можливість прояву зовнішніх станів   нічого не відомо; приходиться рахуватися з проявом різних зовнішніх станів ; рішення реалізується тільки один раз; необхідно виключити який-би то ні було ризик.

2. Критерій азартного гравця:

3. Критерій Севіджа :

Величину   можна трактувати як втрати, що виникають при зовнішньому стані   при заміні оптимального варіанту рішення на варіант . Вимоги, що пред’являються до ситуації, у якій приймається рішення, співпадають з вимогами до критерію Вальда .

4. Критерій нейтрального гравця:

5. Критерій Гурвіца .

де a - ваговий коефіцієнт.

Тоді

При a =1 отримуємо критерий Вальда . Частіше всього даний коефіцієнт приймається у проміжку 0,2-0,7 (приблизно a =0,5), тобто приймається деяка "середня" точка зору. Критерій Гурвіца застосовується у тому випадку, коли: про імовірності проявлення стану   нічого не відомо; з проявленням стану   необхідно рахуватись; реалізується тільки мала кількість рішень; допускається деякий ризик.

До другої групи критеріїв можна віднести критерії Гермейєра , Байєса-Лапласа , Ходжа-Лемана , розширений міні максимальний.

Критерій Байєса-Лапласа – враховує імовірність   проявлення зовнішнього стану . Ця обставина важлива, якщо накоплена імовірність проявлення зовнішніх умов (метеорологічних, кон’юнктурних та інше).

При цьому вважається, що ситуація, у якій приймається рішення характеризується наступними обставинами: імовірності проявлення стану   відомі та не залежать від часу; рішення реалізується (теоретично) нескінчену кількість разів; для малого числа реалізацій рішення допускається деякий ризик.

Розширений мінімаксний критерій визначає довгострокову стратегію обережного гравця.

Хай імовірність   відповідає появленню стану . Постійний вибір варіанта   приводить до середнього результату:

Якщо ж варіанти (стратегії)   застосовувати з імовірністю , то отримаємо середній результат:

У зв’язку з тим, що   невідомі, а вибір   у наших можливостях, то орієнтуємося на гіршу розстановку зовнішніх умов, максимізуємо виграш за рахунок вибору оптимальних ймовірностей змішаної стратегії , отримуємо критерій:

Критерій Ходжа – Лемана .

За допомогою параметра   у цьому критерії вибирається ступінь довіри до розподілення імовірностей, що використовується. Якщо ця довіра велика, то результати близькі до результатів по критерію Байєса-Лапласа , у противному випадку перевага віддається критерію Вальда . Оціночна -функція визначається рівністю

Для застосування критерію Ходжа-Лемана бажано, щоб ситуація, у якій приймається рішення, задовольняла властивостям: імовірності прояву стану   точно невідомі, але деякі припущення про розподіл імовірностей можливі; прийняте рішення теоретично допускає нескінчену кількість реалізацій; при малих числах реалізації допускається деякий риск.

Критерій Гермейєра .

Даний критерій орієнтований на величини втрат, тобто на від’ємні значення . Маємо:

Умови його застосування наступні: імовірності появи стану   відомі;

із появленням тих чи інших станів, окремо або у комплексі, необхідно рахуватись; допускається деякий ризик; рішення може реалізовуватись один або декілька разів.

Якщо функція розподілення відомо не дуже надійно, а числа реалізації малі, то, використовуючи критерій Гермейєра , отримують великий ризик.

Підсумовуючи вищенаведене, можна зробити висновок, що використання якогось одного з критеріїв не є достатнім для прийняття правильного рішення. Також необхідно враховувати часові фактори, поєднувати критерії між собою та робити аналіз критеріїв на вже відомих ситуаціях для перевірки достовірності результатів, які вони видають. Але ж, насамперед, необхідно поєднувати застосування даних критеріїв з методом експертних оцінок. Це дасть змогу найбільш достовірно визначити ступінь ризику або невизначеності при прийнятті управлінських рішень.

Література:

1.  Камалян А.К., Яновский Л.П. Принятие управленческих решений в условиях риска и неопределенности: теория, методология, практика (монография). Воронеж: ВГАУ, 2000, - 193 с.