WEB-ресурс научно-практических конференций

К ВОПРОСУ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

В. В. Челабчи , В. Н. Челабчи

При исследовании переходных процессов в детерминированных динамических системах с сосредоточенными параметрами, используются математические модели в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых на основе феноменологического подхода или путем идентификации элементов действующих систем на базе экспериментальных данных.

В основном реализуются два типа математических моделей:

— линейные уравнения высоких порядков;

— уравнения невысоких порядков, но с коэффициентами являющимися функциями параметров процесса.

Выбор типа математической модели диктуется утилитарными соображениями. Для аналитических исследований удобен первый тип, но для численного моделирования процессов в системах предпочтителен второй.

Чаще всего проблема идентификации объектов сводится к решению задачи параметрической идентификации, когда вид уравнения математической модели заранее выбран. Задачи структурной идентификации решаются редко, и в основном сводятся к выбору одной модели из ограниченного списка.

Существует много подходов к параметрической идентификации. Например, определение коэффициентов передаточной функции производится на основе информации о значениях переходной характеристики [1], или используются методы наименьших квадратов и методы спуска [2] и др.

Методы параметрической идентификацией элементов динамических систем разрабатываются в Одесском национальном морском университете на кафедре «Техническая кибернетика». Основная цель разработок - инвариантность методов к исходным данным, надежность и простота.

В качестве математических моделей чаще всего используются уравнения:

, (1)

, (2)

где ? - время,

X( ? ) - воздействие,

Y( ? ) - реакция объекта,

C ₁ , C ₂ , K ₁ , K ₂ – коэффициенты отражающие свойства объекта.

Коэффициенты C ₁ , C ₂ , K ₁ , K ₂ могут быть гладкими функциями параметров процесса и времени.

Выполнение идентификации включает несколько этапов:

— для моментов времени, путем дифференцирования экспериментальных данных определяются производные X’, Y’ и Y”;

— значения функций и производных, подставляются в идентифицируемое уравнение, и определяется функционала ? (сумма квадратов невязок левой и правой частей уравнения для всех рассматриваемых моментов времени);

— значения коэффициентов идентифицируемого дифференциального уравнения определяются путем минимизации функционала ? , которую можно проводить одним из методов спуска или решая полученную систему линейных алгебраических уравнений прямым методом. Если X( ? ) и Y ( ? ) незашумлены , а C ₁ , C ₂ , K ₁ , K ₂ - константы можно использовать численное дифференцирование экспериментальных данных для определения производных [3].

Использование предварительного интегрирования X( ? ) и Y ( ? ) позволяет несколько снизить чувствительность метода к шуму [4].

При заметно зашумленых X ( ? ) и Y( ? ) используется предварительная аппроксимация экспериментальных данных.

Вся область изменения величин X( ? ) и Y ( ? ) разбивается на интервалы времени, которые могут перекрывать друг друга (Рис. 1).

На каждом интервале (индекс интервала - nz ) используется локальная, в пределах каждого интервала, независимая переменная – t .

Зависимости X ( t ) и Y( t ), в пределах каждого интервала, аппроксимируются подходящими функциями (например, полиномами невысоких степеней):

, (3)

где

? – независимая переменная, с ;

i – индекс момента времени на оси основной независимой переменной ? ;

?? - интервал времени, на котором проводится аппроксимация, с ;

t = ? - ? ₁ - локальная (в пределах nz интервала) координата времени, с ;

? ₁ – момент времени соответствующий началу интервала, с ;

j – индекс момента времени на вспомогательной оси независимой переменной t (в пределах локального интервала);

jm – индекс момента времени конца интервала (на вспомогательной оси t );

nz – индекс интервала времени;

?i – количество узловых точек входящих в зону перекрытия интервалов;

а ₀ ? a _nf и b ₀ ? b _mf - коэффициенты аппроксимирующих полиномов;

nf , mf - порядки аппроксимирующих полиномов.

В ряде случаев (колебательный процесс) для аппроксимации X( t ) и Y ( t ) использовались функции вида:

, (4)

для апериодических процессов:

, (5)

В принципе, на аппроксимирующую функцию особые ограничения не накладываются. Однако для нахождения значений а ₀ ? а ₆ приходится использовать методы спуска, что довольно часто приводит к попаданию в зону локального минимума ? . Логично предварительное использование метода сканирования, но это усложняет и затягивает вычислительный процесс.

Использование аппроксимирующих полиномов наиболее удобно. Установлено, что полиномы 5 ? 7 порядков обеспечивают достаточное отражение реалий процесса и одновременно хорошо подавляют шум.

Выбранный способ обработки данных при проведения аппроксимации экспериментальных зависимостей X( ? ) и Y ( ? ) отличается тем, что он не требует равномерного расположения моментов времени на оси ? .

Другим достоинством принятого способа является возможность существенного перекрытия интервалов времени при аппроксимации, что заметно повышает достоверность результатов идентификации. Представляется разумным использовать максимальное перекрытие интервалов, когда ?i = jm-1.

Значительно сложнее проводится идентификация нелинейных объектов. Выбор функций, отражающих зависимость свойств объекта от параметров процесса, трудно формализовать. Поэтому используется предварительная информация о процессах в объекте. Меняется также стратегия решения задачи идентификации.

Рассмотрим объект (1), в котором происходит накопление кинетической ( C ₀ ? Y ”), потенциальной ( Y = K ₁ ? Y ) энергий и диссипация энергии ( C ₁ ? Y ’). Фактически Y = K ₁ ? Y является статической характеристикой объекта. Если K ₁ существенно зависит от параметров процесса, имеет смысл предварительно проводить параметрическую идентификацию (6):

, (6)

где a , b , c … - коэффициенты статической характеристики.

Результаты (6) используются при идентификации (1). Как правило инерционные свойства объекта мало зависят от процесса (С ₁ = const ), в то время как, коэффициент отражающий диссипацию энергии может быть, например, функцией Y ’ (например C ₂ = D ₁ + D ₂ ? Y ’+ D ₃ ? ( Y ’) ² )

Тогда

, (7)

следовательно

, (8)

Оценка результатов идентификации, проводится сравнением экспериментальных значений Y( ? ) с полученным путем численного решения идентифицированного уравнения при задании экспериментального воздействия X( ? ). При решении используются апробированные проекционные [5] или устойчивые численные методы [6].

Литература:

1. Болдырев Д.В. Динамическая идентификация объектов управления. Материалы VII региональной научно-технической конференции “Вузовская наука – Северо-Кавказскому региону”. - Ставрополь: СевКавГТУ , 2004. - http://www.ncstu.ru.

2. Еремеев В.С., Умеров О.С. Идентификация параметров математических моделей с использованием метода наискорейшего спуска. -http://mpu.melitopol.net/confer/2004/inf_mat/articles/eremeev_umerov.pdf.

3. Ерышев В.С., Коваленко О.А., Челабчи В.Н. Идентификация объектов сложных систем c сосредоточенными параметрами № 570-мф. М.: ВИНИТИ , Депонированные рукописи № 9(179) -1986. –14 с.

4. Меr к t R.V ., Chelabchi V.N ./ Prediction of modes of operation of ship plants and systems ./ "Proceedings of third exhibition and technical conference. Black Sea'94", Varna, Bulgaria, 1994.

5. Максименюк Я.А., Меркт Р.В., Челабчи В.Н. Исследование дифференциальных уравнений методом аппроксимирующих функций № 619-мф. М.: ВИНИТИ, Депонированные рукописи № 12(182) -1986. –7 с .

6. Челабчи В.В., Челабчи В.Н. К вопросу эффективности компьютерного моделирования динамических систем // Materials of international scientifically-practical conference “ The Science theory and practice ”. Vol.25. Modern Ifomation Technologies. – Praha : Publishing House “Education and Science” s.r.o .; Prague Czechia – Dnepropetrovsk , Ukraine – Belgorod , Russian, 2005. – P. 33–35.