Новая методика определения объемов выпуклых многогранников произвольной формы

В.С. Лысенко

Постановка задачи.

Основной целью доклада является обоснование новой методики определения объема выпуклого многогранника, который формируется на основе заданных трехмерных координат верхнего и нижнего контуров.

Для того чтобы найти объем пространственного многогранника, заданного только координатами верхнего и нижнего контуров, необходимо сначала его построить, а затем приступать к определению его объема.

Последовательность реализации алгоритма сводится к следующему:

1. Представление верхнего и нижнего контуров в качестве плоскостей.

2. Построение осевой линии. Имитация совокупности плоскостей, которые проходят через нее.

3. Представление пространственной геометрической фигуры в виде совокупности плоскостей.

4. Определение объема выпуклого многогранника с использованием «игольчатого метода».

Рассмотрим более детально каждый этап реализации алгоритма.

1. Так как заданные 3-х мерные координаты верхнего или нижнего контура не всегда будут удовлетворять уравнению плоскости Ax + By + Cz + D = 0, целесообразно привести координаты соответствующего основания к уравнению плоскости. Сделать это можно, либо с помощью метода наименьших квадратов (1МНК), либо реализовав частный случай полинома 1-й степени z = f ( x,y ).

2. Построение осевой линии. Для 1-го и 2-го контура находим центральные точки в пространстве, через которые пройдет осевая линия, которая будет лежать внутри выпуклой фигуры. На рисунке 1 осевая линия – OO ₁ . Центр каждого из контуров находим по средним координатам X _ср , Y _ср , Z _ср .

; ; ,

где X _i , Y _i , Z _i – координаты точек соответствующего контура;

n – количество точек вершин контура.

Затем через прямую , которая проходит по осевой, проводится пучок плоскостей, которые расположены друг от друга на определенный угол ? . (рис.1.) Чем меньше угол ? , тем больше боковых граней будет у фигуры. Каждая плоскость из пучка, которая проходит через осевую линию будет пересекать две плоскости – верхнего и нижнего основания по прямым. Пересечения этих прямых с отрезками каждого из контуров позволяют строить боковые ребра многогранника. Соединяя точки пересечения прямых сверху и снизу, например точки T и T ₁ – получим боковое ребро TT ₁ (рис. 1).

Рис. 1. К построению выпуклого многогранника, используя методы имитационного моделирования

3. После того, как были получены все боковые ребра выпуклого многогранника, строится пространственная 3-х мерная фигура, состоящая из 2*(n-1) + 2 плоскостей, где n – количество ребер. Как известно при соединении двух отрезков в пространстве плоскость пройдет только тогда, когда прямые либо пересекаются, либо параллельны.

Если же прямые скрещиваются, целесообразным является через четыре точки провести две треугольные грани (плоскости). Так как выпуклый многогранник, состоит из n пар точек (которые при параллельности отрезков могли бы организовать плоскость), треугольных граней будет в два раза больше. То есть получим 2*(n-1) + 2 плоскостей: 2 плоскости верхнего и нижнего основания, 2*(n-1) – количество треугольных плоскостей.

4. Чтобы найти объем тела, полученного совокупностью плоскостей, применяется «игольчатый метод», алгоритм которого состоит в следующем:

· Строится проекция выпуклого многогранника на плоскость XOY, после чего покрывается сеткой.

· Через узел сети проводится прямая . При ее построении, координата по z меняется, а по x , y остается постоянной (она как бы «протыкает» выпуклый многогранник). Прямая пересечет строго две грани выпуклого многогранника. Разница координаты Z по этим пересечениям и будет высотой элементарной призмы.

Объем полученного выпуклого многогранника будет определяться как сумма элементарных призм, полученных на основе использования «игольчатого метода»:

,

где k – количество точек попавших в проекцию многогранника XOY;

?x _i – шаг сети;

h _i – высота элементарной призмы, которая определяется как разница высотных отметок пересеченных «иголкой» плоскостей.

Результаты.

При формировании и реализации данной методики использован следующий математический аппарат: построение полинома любой степени от двух аргументов – z = f ( x,y ), использование метода наименьших квадратов для множественной регрессии, определение уравнения прямой на плоскости и в пространстве, определение уравнения плоскости, проходящей через три точки; взаимное расположение прямых в пространстве (совпадают, пересекаются, параллельны, скрещиваются), построение плоскости параллельной данной, пересечение прямой и плоскости, пересечение двух плоскостей, ортогональность плоскостей, нахождение минимального расстояния между скрещивающимися прямыми и т.д.

Преимуществом данной методики является высокая точность определения объемов за счет замены фигуры произвольной формы выпуклым многогранником. Разработаны алгоритмы построения боковых граней, используя методы имитационного моделирования (вращение плоскости, проходящей через осевую линию). Впервые предложен алгоритм определения объема выпуклого многогранника «игольчатым методом», при реализации которого «иголка протыкает» только две его грани.

Литература:

1. Зеленський О.С., Лисенко В.С. Реалізація задачі “ визначення видобутку гірської маси ” з використанням методів математичного моделювання // Економіко-математичне моделювання соц іально-економічних систем. Збірник наукових праць . Вип.8. / Відп .р ед . – академік НАНУ О. О. Бакаєв .– К.: Міжнародний науково-навчальний центр ЮНЕСКО/МПІ інформаційних технологій та систем НАН та МОН України , 2004.– С.115-127.

2. Цисарж В.В., Марусик Р.И. Математические методы компьютерной графики. – К.: Факт, 2004. – 464с.